APLICACIONES DE LA DERIVADA

 

APLICACIONES DE LA DERIVADA.

La derivada tiene aplicaciones muy variadas en el ámbito de las matemáticas, física, economía y otras ciencias. Un concepto clave de sus aplicaciones es que la derivada mide cómo cambia una cantidad respecto a otra.

Concepto de aplicación de la derivada

La derivada se utiliza para analizar fenómenos de cambio y optimización. En términos simples:

• Velocidad instantánea: En física, la derivada de la posición respecto al tiempo nos da la velocidad en un instante.
• Crecimiento y decrecimiento: En matemáticas, la derivada indica si una función está aumentando o disminuyendo en un intervalo.
• Máximos y mínimos: En economía o ingeniería, se usa para encontrar valores óptimos (por ejemplo, maximizar ganancias o minimizar costos).
• Tasas de variación: En biología o química, describe cómo cambia una población o una reacción química en un momento específico.

En resumen, la aplicación fundamental de la derivada es entender y controlar el cambio, lo que permite resolver problemas prácticos en múltiples disciplinas.

PROBLEMAS DE APLICACIÓN.

Problema 1:

Determinar el nivel de producción que maximiza el beneficio Supongamos que el beneficio de una empresa depende de la cantidad producida:

B(x)=−2x²+40x−100

Desarrollo:

Lo primero que se debe hacer es encontrar la derivada de la función

B´(x)=−4x+40

El resultado igualamos a cero

-4x+40=0

-4x=-40

4x=40

X=10

El nivel de producción optimo se obtiene cuando x=10

 

Problema 2:

Una empresa tiene una función de beneficio dada por

B(x)= −x²+30x−200

donde x es la cantidad producida. Determina el nivel de producción que maximiza el beneficio y el valor máximo del beneficio.

Desarrollo:

Se deriva la función

B(x)= −x²+30x−200

B´(x)=-2x+30

Igualamos a cero

-2x+30=0

-2x=-30

2x=30

X=30/2

X=15

El valor máximo de beneficio será:

B(x)= −x²+30x−200

B(15)= −15²+30(15)−200

B(15)=-225+450-200

B(15)=25

Beneficio máximo= 25

 

Problema 3:

El beneficio de una empresa está dado por

B(x)=−3x²+24x−50

Encuentra la cantidad de producción que maximiza el beneficio.

Desarrollo:

Se deriva la función

B(x)= −3x²+24x−50

B´(x)=-6x+24

Igualamos a cero

-6x+24=0

-6x=-24

6x=24

X=24/6

X=4

Evaluamos

B(x)=−3x²+24x−50

B(4)=−3(4)²+24(4)−50

B(4)=-48+96-50

B(4)=-2

A pesar que la empresa tiene un nivel optimo cuando x=4, mantiene perdidas ya que su beneficio máximo es negativo.

Problema 4:

Una fábrica de calzado estima que su beneficio en función de la cantidad de pares producidos está dado por:

B(x)=−2x²+40x−150

Determina el nivel de producción que maximiza el beneficio.

Desarrollo:

Se deriva la función

B(x)= −2x²+40x−150

B´(x)=-4x+40

Igualamos a cero

-4x=-40

4x=40

X=40/4

X=10

Evaluamos

B(x)=−2x²+40x−150

B(10)=−2(10)²+40(10)−150

B(x)=-200+400-150

B(x)=50

Producción optima para X=10 siendo el beneficio máximo =50

Problema 5:

Una empresa de muebles tiene la función de beneficio:

B(x)=−x²+20x−80

Encuentra la producción que maximiza el beneficio.

Desarrollo:

Se deriva la función

B(x)=−x²+20x−80

B´(x)=-2x+20

Igualamos a cero

-2x+20=0

-2x=-20

2x=20

X=20/2

X=10

Evaluamos la función para x=10

B(x)=−x²+20x−80

B(10)=−x²+20x−80

B(10)=−(10)²+20(10)−80

B(x)=-100+200-80

B(x)=20

Producción optima: x=10 beneficio máximo =20

 

Problema 6:

Un agricultor produce tomates y su beneficio depende de la cantidad de cajas producidas:

B(x)=−x²+16x−40

Determina la producción que maximiza el beneficio.

Desarrollo:

Se deriva la función

B(x)=−x²+16x−40

B´(x)=-2x+16

Igualamos a cero:

-2x+16=0

-2x=-16

2x=16

X=16/2

X=8

Evaluamos la función para x=8

B(x)=−x²+16x−40

B(8)=−8²+16(8)−40

B(8)=-64+128-40

B(8)=24

Producción optima x=8, beneficio máximo=24

 

Problema 7:

Un restaurante calcula su beneficio en función del número de platos vendidos:

B(x)=−2x²+28x−90

Encuentra el número de platos que maximiza el beneficio.

Desarrollo:

Se deriva la función

B(x)=−2x²+28x−90

B´(x)=-4x+28

Igualamos a cero:

-4x+28=0

-4x=-28

4x=28

X=28/4

X=7

Evaluamos para x=7

B(x)=−2x²+28x−90

B(7)=−2(7)²+28(7)−90

B(7)=-98+196-90

B(7)=8

Producción optima= x=7 platos, beneficio máximo: 8

 

Problema 8:

Una empresa de software estima su beneficio según el número de licencias vendidas:

B(x)=−x²+18x−60

Determina la producción que maximiza el beneficio.

Desarrollo:

Se deriva la función

B(x)=−x²+18x−60

B´(x)=-2x+18

Igualamos a cero:

-2x+18=0

-2x=-18

2x=18

X=18/2

X=9

Evaluamos para x=9

B(x)=−x²+18x−60

B(9)=−9²+18(9)−60

B(9)=-81+162-60

B(9)=21

Producción optima: x=9 licencias, beneficio máximo=21