PROGRAMACIÓN LINEAL

 

PROGRAMACIÓN LINEAL.

DEFINICIÓN.

La programación lineal (PL) es una técnica matemática que busca optimizar (maximizar o minimizar) una función objetivo, sujeta a un conjunto de restricciones lineales. Se utiliza mucho en economía, logística, producción y planificación de recursos, por lo tanto la programación lineal resulta ser una herramienta para la toma de decisión por lo que es muy importante en los ámbitos ya mencionados.

ELEMENTOS PRINCIPALES.

Función objetivo.

Es lo que se desea optimizar, ya sea maximizar o minimizar, como, por ejemplo:

Maximizar una ganancia Z= 2x+3y

Variables de decisión.

Representan las cantidades que se pueden controlar, como por ejemplo:

x= números de productos A

y= números de productos B

Restricciones.

Representa las limitaciones de recursos, por ejemplo: materia prima, tiempo, mano de obra, etc.

por ejemplo:

2x+3y≤80  ( materia prima disponible)

X+3y≤60   (horas de trabajo)

En este caso se están relacionando la materia prima con las horas de trabajo y este contexto se buscara optimizar procesos para una máxima ganancia.

Condición de no negatividad.

Se considera que las variables no pueden tomar un valores negativos, para lo cual simbólicamente se escribe de la siguiente manera:

x≥0

y≥0

APLICACIONES DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL.

Producción y operaciones

• Planificación de la producción: determinar cuántas unidades fabricar para maximizar beneficios o minimizar costos.
• Mezclas de productos: decidir la combinación óptima de materias primas (ej. en industrias químicas o alimenticias).
• Asignación de tareas: distribuir trabajo entre empleados o máquinas para reducir tiempos y costos.

Logística y transporte

• Problemas de flujo de mercancías: encontrar rutas más económicas para transportar bienes.
• Gestión de inventarios: decidir cantidades óptimas de almacenamiento para evitar exceso o escasez.
• Optimización de redes: minimizar costos en sistemas de distribución y transporte.

Finanzas

• Carteras de inversión: seleccionar la combinación de activos que maximice la rentabilidad con riesgo limitado.
• Gestión de presupuestos: asignar recursos financieros a proyectos con restricciones de capital.

Marketing y ventas

• Campañas publicitarias: distribuir presupuesto entre diferentes medios para maximizar alcance.
• Precios y descuentos: calcular estrategias de precios que maximicen ingresos bajo restricciones de mercado.

Agricultura

• Planificación de cultivos: decidir qué sembrar y en qué proporción para maximizar ganancias considerando tierra, agua y mano de obra.
• Uso de fertilizantes: optimizar cantidades para mejorar rendimiento sin exceder costos.

Realmente la programación lineal tiene un amplio uso en distinto ámbitos, y su aplicación de gran relevancia ya que se constituye en una herramienta que permite optimizar los recursos para mayor beneficio de una empresa o negocio.

 

RESOLVER

Ejercicio 1

UNA FÁBRICA PRODUCE DOS PRODUCTOS: A Y B.

•      Cada unidad de A requiere 3 horas de máquina y 1 horas de mano de obra.

•      Cada unidad de B requiere 2 horas de máquina y 2 horas de mano de obra.

•      La fábrica dispone de 60 horas de máquina y 24 horas de mano de obra en total.

•      La ganancia por cada unidad de A es de 30 dólares y por cada unidad de B es de 40 dólares.

¿CUÁNTAS UNIDADES DE CADA PRODUCTO DEBE PRODUCIR LA FÁBRICA PARA MAXIMIZAR LA GANANCIA?

 

Desarrollo:

Variables de decisión:

x= unidad del producto A

y=unidad del producto B

Función objetivo:

Z=30x+40y

Restricciones:

Horas máquina: 3x+2y≤60

Horas mano de obra:x+2y ≤24

No cantidades negativas: x≥0   y≥0

 

Se plantea el sistema de ecuaciones ( se resuelve por cualquier método)

 

En este caso conviene eliminar la variable y, misma que se elimina multiplicando cualquiera de las ecuaciones por -1, en este caso se multiplicara la ecuación 2 por -1.

3x+2y=60

-x-2y=-24

2x    =36

x=36/2

X=18

Reemplazo x=18 en (ec 2)

X+2y=24

18+2y=24

2y=24-18

2y=6

Y=6/3

y=3

 

solución:

x=18

y=3

 

Otros vértices

Para x=0

Máquina: 3x+2y≤60 ;y ≤60/2  ; Y ≤30

Mano de obra: x+2y ≤24 ; y ≤24/2 ; y ≤12

Valor válido: y=12

 

Para y=0

Máquina: 3x+2y ≤60 ; x ≤60/3 ; x ≤20

Mano de obra: x+2y ≤24 ; x≤24  

Valor válido= 20

 

Los pares ordenados a considerar son

(18;3)

(0;12)

(20;0)

Evaluamos Z= 30x+40y

 

(18;3)  z=30(18)+40(3)=540+120=660

(0;12)     z=30(0)+40(12)=0+480=480

(20;0)     z=30(20)+40(0)=600+0=600

SOLUCIÓN: La fábrica debe producir 18 unidades de A y  3 unidades de B para maximizar la ganancia a 660 dólares.