DERIVADAS BÁSICAS

 

DERIVADAS BÁSICAS.

DEFINICIÓN DE DERIVADA.

La derivada de una función en un punto mide la rapidez con la que cambia el valor de la función respecto a su variable independiente en ese punto. En otras palabras, describe la tasa de variación instantánea o la pendiente de la recta tangente a la curva en ese lugar.

Formalmente, si f(x) es una función, la derivada en el punto x=a se define como:

f′(a)=

Interpretaciones de la derivada.

·         Geométrica: Es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto a.

·         Física: Representa la velocidad instantánea si la función describe la posición de un objeto respecto al tiempo.

·         General: Indica cómo cambia una magnitud cuando otra varía infinitesimalmente.

Por ejemplo, si f(x)= , entonces su derivada es f′(x)=2x. Esto significa que en x=3, la pendiente de la curva es 6.

REPRESENTACIÓN DE LA DERIVADA.

La derivada puede ser representada como:

·  dy/dx

·         y´

·         f´(x)

REGLAS BÁSICA DE LAS DERIVADAS:

1.      Derivada de una constante.

2.      Derivada de una variable con respecto a si misma.

3.      Derivada de una potencia.

4.      Derivada de una constante por una variable.

5.      Derivada de un polinomio.

6.      Derivada del producto de dos variables.

7.      Derivada del cociente

 

1.      DERIVADA DE UNA CONSTANTE.

Regla: la derivada de una constante es igual a cero

Derivar:

y=20

solución

y´=0

 

f(x)=50

desarrollo

f´(x)=0

 

 

2.      DERIVADA DE UNA VARIABLE CON RESPECTO A SI MISMA.

Regla: la derivada de una variable con respecto a si misma es igual a 1.

 

Derivar:

y=x

Desarrollo

y´=1

 

f(x)=x

Desarrollo 

f´(x)=1

 

3.      DERIVADA DE UNA POTENCIA.

Regla: la derivada de una potencia es igual al producto de: el exponente por el base disminuido en 1 y por la derivada de la base

   

Derivar:

y=x⁵

desarrollo

y´=5 x⁵⁻¹ d(x)/dx

y´=5 x⁴

 

f(x)=x¹⁰

desarrollo

f´(x)=10 x¹⁰⁻¹ d(x) /dx

f´(x)=10 x⁹

 

   

 

4.      DERIVADA DE UNA CONSTANTE POR UNA VARIABLE.

Regla: la derivada de una constante por una variable es igual al producto de la constante por la derivada de la variable.

   

RESOLVER:

Y=5x

desarrollo

Y´=5 d(x)/dx

Y´=5

     

5.      DERIVADA DE UN POLINOMIO.

Regla: la derivada de un polinomio es igual a la derivada de cada uno de sus términos.

   

RESOLVER-DERIVAR

Y=x+5

Desarrollo

 

   

Desarrollo:

 

   

Desarrollo:

 

6.      DERIVADA DEL PRODUCTO DE DOS VARIABLES.

Regla: la derivada del producto de dos variables es igual: a la primera por la derivada de la segunda cantidad mas la segunda por la derivada de la primera cantidad.

 

RESOLVER

 

Desarrollo:

 

 

   

Desarrollo:

 

   

7.      DERIVADA DEL COCIENTE

Regla: la derivada del cociente es igual: al denominador por la derivada del numerador menos el numerador por la derivada del denominador; y todo dividido para el cuadrado del denominador.

   

DERIVAR

   

Desarrollo:

   

Observación: cuando se trata de la derivada de un cociente, al subir el denominador al numerador, se puede convertir en el producto de variable y se derivada como el producto de variables. El ejemplo anterior le convertiremos en el producto de variables.

DERIVAR

   

Pasamos del cociente al producto de variables:

   

Derivamos como el producto de variables.

 

Tal como se puede apreciar, en la solución de este ejercicio aplicando la regla de la derivada del cociente y la de la derivada del producto de variables, se llega al mismo resultado.

 

VIDEO: