ECUACIONES CUADRÁTICAS

 

ECUACIONES CUADRÁTICAS

 Ecuaciones de segundo grado

Una ecuación cuadrática, llamada también ecuación de segundo grado es una expresión algebraica donde la variable esta elevado al exponente 2.

La forma de la ecuación cuadrática es ax²+bx+c=0

Donde:

·         a,b,c son coeficiente ( son números del conjunto de los números reales).

·         a≠0,  porque se a es igual a cero, dejaría de ser cuadrática y sería una ecuación lineal

FORMA  COMPLETA E INCOMPLETAS DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA.

Forma completa

·    ax²+bx+c=0

Formas incompletas

·    ax²+bx=0

 aax²+c=0

¿CÓMO SE RESUELVE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA?

Las ecuaciones cuadráticas se pueden resolver mediante:

·         Descomposición en factores

·        Formula general  

 

PRIMER EJERCICIO

Resolver x²+6x=0

Resolución por descomposición en factores

Primero resolveremos aplicando descomposición en factores, para lo cual se verifica si es posible descomponer en factores, es importante indicar que no todas las expresiones algebraicas se pueden descomponer en factores, y cuando esto suceda nos queda únicamente resolver por la formula general.

La expresión x²+6x=0 si se puede descomponer en factores.

x²+6x=0

X(x+6)=0                 ( se extrajo el factor común monomio)

 x= 0         x+6=0      (ahora los dos factores se igualan a cero)

x=0           x=-6

 Resolución por la formula general   

Primero se identifican los valores de  a,b y c

a=1 ; b=6 ;c=0

Luego se reemplaza valores en la formula

En este punto se toman dos caminos(considerando signo positivo y negativo)

Tal como se puede evidenciar, por cualquiera de los dos métodos aplicados, los resultados obtenidos son iguales

 

SEGUNDO EJERCICIO

Resolver x²-10x=0 

Resolución por descomposición en factores

Se verifica si se puede descomponer en factores la expresión x²-10x=0 , en este caso si se puede descomponer en factores.

x²-10x=0

x(x-10)=0                 ( se extrajo el factor común monomio)

 x= 0         x-10=0      (ahora los dos factores se igualan a cero)

x=0           x=10

 Resolución por la formula general 

 

 x²-10x=0

Primero se identifican los valores de  a,b y c

a=1 ; b=-10 ;c=0

Luego se reemplaza valores en la formula

En este punto se toman dos caminos (considerando signo positivo y negativo)

 

    x=10

 

 x=0

Tal como se puede evidenciar, por cualquiera de los dos métodos aplicados, los resultados obtenidos son iguales

 

TERCER EJERCICIO

Resolver x²+11x+24=0

Resolución por descomposición en factores

Se verifica si se puede descomponer en factores la expresión x²+11x+24=0 , en este caso si se puede descomponer en factores.

Se prueba:

·         ¿Hay factor común monomio?. no hay por que no cumple la condición de que hallan letras que se repitan

·         ¿Hay factor común polinomio?, no, porque no cumple la condición de que hallan paréntesis que se repitan.

·         ¿Hay trinomio cuadrado perfecto? No, porque para que halla trinomio cuadrado perfecto el primer y tercer término deben ser cuadrados perfectos y el 24 no es cuadrado perfecto.

·         ¿Hay trinomio cuadrado perfecto por suma y resta? No, porque para que halla trinomio cuadrado perfecto por suma y resta el primer y tercer término deben ser cuadrados perfectos y el 24 no es cuadrado perfecto.

·     ¿Hay trinomio de la forma x²+bx+c=0, si , porque si cumple la condición, y el 24 se descompone en dos factores tales que sumados dan el coeficiente del segundo término.

x²+11x+24=0

¿cómo se factora el trinomio x²+bx+c=0 ?

 Se abren dos paréntesis y en ambos se coloca la raíz del primer término, en el primer paréntesis se coloca signo del segundo término y en el segundo paréntesis se hace ley de signo entre el segundo y tercer término, luego se descompone en factores el término independiente y se buscan dos números que sumados den el coeficiente del segundo término.

 x²+11x+24=0      (los factores de 24 son: 2,2,2,3)

(x+8)(x+3)=0          (los números que sumados dan 11, son 8 y 3)

X+8=0                      x+3=0

X=-8                        X=-3  

Resolución por la formula general 

 

 x²+11x+24=0

Primero se identifican los valores de  a,b y c

a=1 ; b=11 ;c=24

Luego se reemplaza valores en la formula

En este punto se toman dos caminos (considerando signo positivo y negativo)

  x=-3

 

  x=-8

Tal como se puede evidenciar, por cualquiera de los dos métodos aplicados, los resultados obtenidos son iguales

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