FACTORIZACIÓN

 

FACTORIZACIÓN.

¿QUÉ SIGNIFICA DESCOMPONER EN FACTORES UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA?

Descomponer en factores una expresión algebraica, es convertirla en un producto indicado de otras expresiones llamadas factores. El objetivo es expresar la expresión original como la multiplicación de dos o más expresiones más simples. Es el proceso opuesto a la expansión, que es multiplicar los factores para obtener una expresión simple. 

·         En aritmética por ejemplo los factores de 20 son: 1,2,4,5,10 y 20

·         En álgebra, los factores de x² - y² son: (x+y) (x-y)

CASOS DE FACTORIZACIÓN:

1.      Factor común monomio.

2.      Factor común polinomio.

3.      Factor común por agrupación de términos.

4.      Trinomio cuadrado perfecto.

5.      Diferencia de cuadrados perfectos.

6.      Combinación de trinomios y diferencia

7.      Trinomio cuadrado perfecto por suma y resta.

8.      Suma de dos cuadrados.

9.   Trinomio de la forma x²+bx+c

10. Trinomio de la forma ax²+bx+c

11.  Cubo perfecto de binomio

12.  Suma o diferencia de cubos perfectos.

13.  Suma o diferencia de potencias iguales

¿QUÉ ES LO PRIMERO QUE SE DEBE HACER ANTES DE DESCOMPONER EN FACTORES?

Lo que primero se debe hacer es contar el número de términos, y luego comparar con la siguiente tabla y verificar si el ejercicio cumple determinadas condiciones.

 

1.      FACTOR COMÚN MONOMIO.

Condición: la expresión debe tener letras que se repitan o coeficientes que se contengan

Procedimiento: se toma el factor que se repite elevado al menor exponente, luego se abre paréntesis y se divide cada término del ejercicio para este factor común, finalmente se cierra paréntesis

·    a²+ab= a(a+b)

·     x³+5x²+3x= x(x²+5x+3)

·   10m³+5m²+20x= 5(2m³+m²+4x)

·     x³+5m²+3x (este ejercicio NO corresponde a factor común monomio porque no tiene letras que se repiten, ni coeficientes que se contengan)

 

2.      FACTOR COMÚN POLINOMIO.

Condición: la expresión debe tener paréntesis que se repitan.

Procedimiento: se toma el paréntesis que se repite elevado al menor exponente, luego se abre paréntesis y se divide cada término del ejercicio para este factor común, finalmente se cierra paréntesis

·     (a+b)² +2(a+b)= (a+b) (a+b+2)

·    (x+y)² +(x+y)= (x+y) (x+y+1)

 ·    (m+n)³ -5(m+n)²= (m+n)² (m+n-5)

·     (x+y)³ +5(x+2)² +(x+y)=   (este ejercicio NO corresponde a factor común polinomio, porque no tiene paréntesis que se repiten.

3.      FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS.

Condición: la expresión debe tener 4 o más términos, y al agruparlos de 2 en 2, o de 3 en 3, según convengan, estos deben tener factor común.

Procedimiento: se agrupan las cantidades de 2 en 2, o de tres en 3, según convenga, luego saca factor común monomio y finalmente factor común polinomio

·        ax+ay+bx+by=(ax+ay)+(bx+by)

                              =a(x+y)+b(x+y)
                          =(x+y)(a+b)

·    am+an+bm+bn+m+n=(am+an)+(bm+bn)+(m+m)
                                     =a(m+n)+b(m+n)+(m+n)
                                      =(m+n)(a+b+1)

·    ax+ay+bx+my  (este ejercicio NO corresponde a factor común por agrupación de términos, porque al agruparlos no tienen factor común)

4.      TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.

Condición: la expresión debe tener 3 términos:

·         El primero y el tercero deben ser cuadrados perfectos y además positivos.

·         El segundo término debe ser el doble producto de la raíz del primer por el tercer término.

Procedimiento: se abre paréntesis, se extrae  la raíz del primer término, luego signo del segundo término, finalmente se extrae la raíz del tercer término, se cierra paréntesis y se eleva todo al cuadrado.

·         a²+2ab+b² = (a+b)²

·         x²-2xy+y² = (x-y)²

·         25m²+30m+9 = (5m+3)²

·       m²+mn+n² =   (este ejercicio NO corresponde a trinomio cuadrado perfecto, porque el segundo termino NO corresponde al doble producto de la raíz del primero por la raíz de tercer término).

5.      DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS.

Condición: la expresión debe tener 2 términos que sean cuadrados perfectos.

Procedimiento: se abre 2 paréntesis, en el primero se coloca signo mas y en el otro signo menos, a continuación se extraen las raíces de ambos términos y se colocan en los paréntesis.

·     a²- b² = (a+b) (a-b)

·    x²- y² = (x+y) (x-y)

·    m²- 100= (m+10) (m-10)

·  m²- n³ = (a+b) (a-b)    (este ejercicio NO corresponde a diferencia de cuadrados perfectos, porque el segundo termino NO es un cuadrado perfecto)

6.      COMBINACIÓN DE TRINOMIO Y DIFERENCIA.

Condición: la expresión debe tener 4 o más términos, la mayoría deben ser cuadrados perfectos y los términos que no sean cuadrados perfectos deben constituirse en el segundo término del trinomio cuadrado perfecto.

Procedimiento:

·         Se identifican el trinomio cuadrado perfecto.

·         Se factora el trinomio cuadrado perfecto.

·         Se factora la diferencia de cuadrados perfectos.

·         Se realizan las operaciones indicadas.

 

·         a²-2ab+ b² -c² =    (a²-2ab+ b²) -c²

                             = (a-b)² -c²

                             = [(a-b)+c] [(a-b)-c] 

                             =(a-b+c) (a-b-c)

·         x²+2mn+2xy - m² +y²-n² =    (x²+2xy+ y²) - (m²-2mn+m²)

                             = (x+y)² -(m-n)²

                             = [(x+y)+(m-n)] [(x+y)-(m-n)] 

                             =(x+y+m-n) (x+y-m+n)

·    m²+2mn- n² -100 =  (este ejercicio NO corresponde a combinación de trinomio y diferencia, porque no se conforma el trinomio cuadrado perfecto.

7.      TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR SUMA Y RESTA.

Condición: la expresión debe tener 3 términos, el primero y el tercero deben ser cuadrados perfectos y además positivos. La cantidad que se suma y resta para completar el trinomio cuadrado perfecto, debe ser cuadrado perfecto.

Procedimiento:

·         Se suma la cantidad para completar el trinomio cuadrado perfecto.

·         Se resta esa cantidad

·         Se procede a resolver como una combinación de trinomio y diferencia.

·        a⁴ +a²b² +b⁴

     a⁴+a²b²+b⁴
   +  a²b²       -a²b²
(a⁴+2a²b²+b⁴) - a²b²

=(a²+b²)² - a²b²

= [(a²+b²)+ab][(a²+b²) - ab]

=( a²+ab+b²) (a²-ab+b²)

·        x⁴ -x²y² +16y⁴

     x⁴+x²y²+y⁴
   + 9x²y²       -9x²y²
(x⁴+8x²y²+y⁴) - 9x²y²

=(x²+y²)² - 9x²y²

= [(x²+y²)+3xy][(x²+y²) - 3xy]

=( x²+3xy+y²) (x²-3xy+y²) 

·      x⁴ +x²y² +16y⁴     (este ejercicio NO corresponde a trinomio por suma y resta, porque no se conforma el trinomio cuadrado perfecto al sumar y resta la cantidad, además esta cantidad 7x²y²  que se sumará y restará, no es cuadrado perfecto).

 

8.      SUMA DE CUADRADOS PERFECTOS.

Condición:

·         La expresión debe tener 2 términos que sean cuadrados perfectos y estén unidos por el signo más.

·         La cantidad que se suma para completar el trinomio cuadrado perfecto, debe ser cuadrado perfecto.

Procedimiento:

·         Se suma la cantidad para completar el trinomio cuadrado perfecto.

·         Se resta esa cantidad

·         Se procede a resolver como una combinación de trinomio y diferencia.

·        a⁴  +4b⁴

     (a⁴+4a²b²+4b⁴) -4a²b²  

=(a²+2b²)² - 4a²b²

= [(a²+2b²)+2ab][(a²+2b²) - 2ab]

=( a²+2ab+2b²) (a²-2ab+2b²)

 

·        x⁴ +64

 (x⁴+16x²+64) -16x²  

=(x²+8)² - 16x²

= [(x²+8)+4x][(x²+8) - 4x]

=( x²+4x+8) (x²-4x+8)

·      x⁴ + y⁴      (este ejercicio NO corresponde a suma de cuadrados, porque la cantidad a sumar 2x²y² no es un cuadrado perfecto)

9.   TRINOMIO DE LA FORMA x²+bx+x.

Condición:

·         La expresión debe tener 3.

·         El coeficiente del primer término debe ser 1.

·         El segundo término debe ser la raíz de la parte literal del primer término.

·         El tercer término se debe descomponer en dos factores tales que sumados den el coeficiente del segundo término.

Procedimiento:

·         Se abre dos paréntesis y en ambos se coloca la raíz del primer término.

·         En el primer paréntesis se coloca el signo del segundo término y el en el segundo paréntesis se coloca el producto de signos entre el segundo y tercer término.

·         Se descompone en factores el tercer término, y se buscan 2 números que sumados den el coeficiente del segundo término (el número mayor siempre se colocar en el primer paréntesis)

·     a²+9a+20 = (a +5) (a+4)

·     x²-8x-20    = (x-10) (x+2)

·     m²+5m-50 = (m +10) (m-5

·      a²+a+1 = (este ejercicio NO corresponde a trinomio de la forma x²+bx +c, ya que al descomponer en factores el tercer término, estos factores sumados NO dan el coeficiente del segundo término)

10. TRINOMIO DE LA FORMA ax²+bx+c.

Condición:

·         La expresión debe tener 3 términos.

·         El coeficiente del primer término debe ser diferente de 1.

·         El segundo término debe ser la raíz de la parte literal del primer término.

·         El producto del coeficiente del primer y tercer término se debe descomponer en dos factores tales que sumados den el coeficiente del segundo término.

Procedimiento:

·         Se abre dos paréntesis y en ambos se coloca el coeficiente del primer término con la raíz de la parte literal.

·         En el primer paréntesis se coloca el signo del segundo término y el en el segundo paréntesis se coloca el producto de signos entre el segundo y tercer término.

·         Se multiplica el coeficiente del primer y tercer termino y este resultado se descompone, y se buscan 2 números que sumados den el coeficiente del segundo término (el número mayor siempre se colocar en el primer paréntesis).

·         Finalmente se dividen los factores para el coeficiente del primer término.

·     2a²-7a-15 =  (2a -10) (2a+3)
                               2

                   =(a-5) (2a + 3)

·     6x²+5x-21 =  (6x+14) (6x-9)
                               6

                   =(3x+7) (2x- 3)

·     2m²+m+1  = (este ejercicio NO corresponde a trinomio de la forma ax²+bx+c, ya que al descomponer en factores el producto del primer y tercer término, estos factores sumados NO dan el coeficiente del segundo término)

11.  CUBO PERFECTO DE BINOMIO.

Condición:

·         La expresión debe tener 4 términos.

·         El primer y cuarto término deben ser cubos perfectos.

·         El segundo termino debe ser el triple producto de la raíz del primer término elevado al cuadrado por la raíz del cuarto término.

·         El tercer termino debe ser el triple producto de la raíz del primer término por la raíz del cuarto término elevado al cuadrado.

Procedimiento:

·         Se abre paréntesis, se extrae la raíz del primer término, a continuación, signo positivo si todos los términos son positivos, o signo negativo, si los signos van intercalados, finalmente se extrae la raíz del cuarto término y se eleva todo al cubo.

·         a³+3a²b+3ab²+b³ =(a+b)³

·     x³-3x²y+3xy²-y³ =(x-y)³

·     m³+6m²+12m+8 =(m+2)³

·     m³+6m²+12m-8 = (este ejercicio NO corresponde a cubo perfecto de binomio, porque los signos NO están intercalados). 

12.  SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS.

Condición:

·         La expresión debe tener 2 términos que sean cubos perfectos.

Procedimiento:

·         La suma de cubos perfectos, se descompone en dos factores, la suma de las raíces cubicas que multiplica al cuadrado de la primera raíz menos el producto de ambas raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.

·         a³+b³ = (a+b) (a²-ab+b²)

·         x³+y³ = (x+y) (x²-xy+y²)

·          m³+27 = (m+3) (m²-3m+9)

·         La diferencia de cubos perfectos, se descompone en dos factores, la diferencia de las raíces cubicas, que multiplica al cuadrado de la primera raíz más el producto de ambas raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.

·          a³-b³ = (a-b) (a²+ab+b²)

·         x³-y³ = (x-y) (x²+xy+y²)

·          m³-27 = (m-3) (m²+3m+9)

·      m³+16 =(este ejercicio NO corresponde a suma de cubos perfectos, porque el 16 no es cubo perfecto). 

13.  SUMA O DIFERENCIA DE POTENCIAS IGUALES.

Condición:

·         La expresión debe tener 2 términos que tengan `potencias iguales.

·     xⁿ+yⁿ es divisible para (x+y) siendo n impar

·    xⁿ+yⁿ   nunca es divisible para (x-y)

·      xⁿ-yⁿ es divisible para (x-y) siendo n par o impar.

·     xⁿ-yⁿ  es divisible para (x+y) siendo n par

Procedimiento:

·         La suma o diferencia de potencias iguales se descompone en dos factores:

o    la suma o la diferencia de sus raíces (primer factor)

o   El segundo factor se obtiene dividendo el primer termino de la expresión para la primera raíz, de ahí en adelante la primera potencia disminuye en 1 y la segunda potencia aparece y así sucesivamente hasta que solo quede la segunda raíz)

·         a⁵+b⁵ = (a+b) (a⁴-a³b+a²b²-ab³+b⁴)

·       x⁷ - y⁷ = (x-y) (x⁶+x⁵y +x⁴y²+x³y³+x²y⁴+xy⁵+y⁶)

·     m⁵+32 = 

                =  m⁵+2⁵=(m+2) (m⁴-m³(2)+m²(2)²-m(2)³+2⁴)

               =  (m+2) (m⁴-2m³+4m²-8m+16)

·  m⁵+16=(este ejercicio NO corresponde a suma o diferencias de potencias iguales , porque el 16 no se convierte como potencia de exponente 5).

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