SUCESIONES Y SERIES

SUCESIONES Y SERIES.

Las sucesiones y series forman parte de la vida cotidiana de los seres humanos y también se utiliza en el ámbito profesional para calcular valores que van surgiendo o apareciendo en la medida que una sucesión va creciendo en número de términos, ahí la importancia de analizar el comportamiento de una sucesión y sus características, con las que proporciona información para su análisis.

A las sucesiones también se las conoce con el nombre de progresiones. Sucesiones y series suelen utilizarse en el dialogo común como sinónimos, pero en el ámbito matemático son dos temas distintos, a continuación, se indica la definición de cada uno de estos dos términos.   

Las sucesiones pueden ser finitas o infinitas:

·         Sucesión finita: 10,20,30,40      (esta sucesión tiene 4 términos)

·         Sucesión infinita: 10,20,30,40…. (las sucesiones infinitas llevan puntos suspensivos y sus términos son infinitos)

DEFINICIÓN DE SUCESIÓN.

Una sucesión es una secuencia de términos que se forman de acuerdo con una operación matemática que rige la formación de los términos, por ejemplo:

2,4,6,8,10… ( es una sucesión que se forma sumando 2 al termino anterior)

2,4,8,16,32... ( es una sucesión que se forma multiplicando por 2 al término anterior)

8,12,16,20,… ( es una sucesión que se forma sumando 4 al término anterior)

90, 85, 80, 75… (es una sucesión que se forma sumando -5 al término anterior)

 

DEFINICIÓN DE SERIE.

Una serie corresponde a la suma de los términos de una sucesión.

Por ejemplo:

·         4+8+12+16

·         10+20+30+40

 

DIFERENCIA ENTRE SUCESIÓN Y SERIE.

La diferencia entre sucesión y serie radica en que la sucesión es la secuencia de números y la serie corresponde a la sumatoria de esos números.

 

TIPOS DE SUCESIÓN Y SERIE.

Existen varios tipos de sucesiones y series, en este apartado se estudiarán las siguientes:

·         Sucesiones y series aritméticos

·         Sucesiones y series geométricas

·         Sucesiones y series armónicas

 

SUCESIONES ARITMÉTICAS.

Las sucesiones aritméticas son aquellas que se forman sumando una cantidad constante llamada razón. Por ejemplo:

10,15,20,25…(en este caso la cantidad que se suma es 5, es decir que la razón es 5)

8,10,12,14…(en este caso la cantidad que se suma es 2, es decir que la razón es 2)

100, 140, 180, 220… (la razón es 40)

 Para calcular cualquier término de una sucesión aritmética se utiliza la siguiente formula:

U=a + (n-1)*r

Donde:

U= es el término a calcular

a= es el primer término de la sucesión

n= es el número total de termino que tiene la sucesión

r= razón (es la cantidad constante que se suma, se obtiene restando un término del anterior)

 

Para calcular la suma de los términos de una sucesión aritmética se utiliza la siguiente formula:  

S= ^{(a + u)*n} 

            2
 

Donde:

S=suma de los términos

a= es el primer término de la sucesión

u= es el último término

n= es el número total de término que tiene la sucesión

 

RESOLVER:

 

·         PRIMER EJERCICIO:

Calcular el término 40 de la sucesión 10,15,20,25…

Solución:

U=?

n=40

a=10

r=20-15=5

 

U=a + (n-1)*r

U=10 + (40-1)*5

U=10+39(5)

U=205

 

·         SEGUNDO EJERCICIO:

 Calcular la suma de los 25 primeros términos de la sucesión 20,24,28,32…

Solución:

S=?

n=25

a=20

r=24-20=4

 ( en este caso no conoce el valor de u, por lo que primero se calcula U)

U=a+(n-1)*r

U=20+(25-1)*4

U=116

ahora se aplicará la formula de la suma 

S= ^{(a + u)*n} 

            2

 

S= ^{(20 + 116)*25} 

                2

S= ^(136)*25 

                2

 S=1700

 

SUCESIONES GEOMÉTRICAS.

Las sucesiones geométricas son aquellas que se forman multiplicando por una cantidad constante llamada razón.

Por ejemplo:

·         4,8,16,32……

·         5,15,45,135…..

·         10,40,160,640….

 

Para calcular cualquier término de una sucesión geométrica se utiliza la siguiente formula:

U=a*rⁿ⁻¹

Donde:

U= es el término a calcular

a= es el primer término de la sucesión

n= es el número total de termino que tiene la sucesión

r= razón (es la cantidad constante que se multiplica, se obtiene dividiendo un término del anterior)

 

Para calcular la suma de los términos de una sucesión geométrica se utiliza la siguiente formula:

S= ^{u*r - a} 

        r-1

Donde:

S=suma de los términos

a= es el primer término de la sucesión

u= es el último término

r=razón (se obtiene dividiendo un término para el anterior)

n= es el número total de termino que tiene la sucesión

 

RESOLVER:

EJERCICIO 1

Encontrar el término 20 de la sucesión geométrica 4,8,16,32….

Datos:

a=4

n=20

r=16/8=2

U=a*rⁿ⁻¹

U=4*2²⁰⁻¹

U=2´097.152

 

Encontrar la suma de los 10 primeros términos de 50,100,200,400…..

Datos:

a=50

n=10

r=100/50=2

En este caso para encontrar la Suma, primero debemos encontrar U, porque la fórmula de la suma utiliza el valor de U

U=a*rⁿ⁻¹

U=50*2¹⁰⁻¹

U=50*512

U=25.600

Ahora calcularemos la suma:

S=^{u*r - a} 

       r-1

 

S=25600*2 - 50
             2-1 

S=51200 - 50
             1

S=51.150

 

SUCESIONES ARMÓNICAS.

La sucesión armónica es una secuencia de números reales positivos que se obtiene tomando los inversos de los números naturales.

Ejemplo:

 1, 1, 1 , 1 ......
 1  2  3   4
 

Para calcular la suma de los términos de una sucesión armónica se utiliza la siguiente formula:

Aunque no hay una fórmula exacta, se puede utilizar una aproximación para la suma de una progresión armónica con una fórmula más compleja que usa el logaritmo natural  

S= 1*  ln (2a+(2n-1)*r
      r                2a-r 
             

S=suma de los términos de la sucesión armónica

a=`primer término

n=número de términos

r=razón (se obtiene restando el valor de un denominador menos el anterior)

ln=logaritmo natural

También suele utilizarse la siguiente formula cuando la sucesión armónica inicia así : 

  1, 1, 1 , 1 ......
 1  2  3   4

S=ln(n)+ 𝛾

Donde:

S= suma de los términos

n=número de términos de la sucesión armónica

𝛾= constante de Euler-Mascheroni (γ≈0.57721)

 

Para encontrar el resultado exacto de una sucesión armónica es sumar uno a uno los términos, es decir:

 1 +1 + 1 + 1 ......
 1    2    3    4

 

RESOLVER

Encontrar la suma de los 10 primeros términos de la sucesión armónica

  1, 1, 1 , 1 ......
 1  2  3   4

Aplicaremos los tres métodos

PRIMER MÉTODO

Datos:

S=?

a=1

n=10

r=4-3=1

·         Aplicando la primera fórmula, se obtiene

S= 1*  ln (2a+(2n-1)*r
      r          2a-r 

S=1*  ln (2*1+(2*10-1)*1
      1                2(1) - 1 

S=ln (2+19)*1
            1 

S= ln( 21)
              1 

S= ln(21)

S=3,044522

 

·         Aplicando la segunda fórmula, se obtiene

 

S=ln(n)+ 𝛾

S=ln(10)+ 0,57721

S=2,302585+0,57721

S=2,879795

 

·         Aplicando sumar término a término (este será el valor exacto, los dos valores anteriores son aproximados)

S= 1 +1 + 1 + 1 +1 +1+1+1+1+1
      1    2    3    4   5   6   7  8  9  10

S=2.92896825

 VIDEO:  https://youtu.be/tB5AEwYRq7s